Famous Curves

Famous Curves Index

Click on the name of a curve below to see its history and some of its associated curves.

Astroid Bicorn Cardioid Cartesian Oval Cassinian Ovals Catenary Cayley's Sextic Circle Cissoid of Diocles Cochleoid Conchoid Conchoid of de Sluze Cycloid Devil's Curve Double Folium Dürer's Shell Curves Eight Curve Ellipse Epicycloid Epitrochoid Equiangular Spiral

Fermat's Spiral Folium Folium of Descartes Freeth's Nephroid Frequency Curve Hyperbola Hyperbolic Spiral Hypocycloid Hypotrochoid Involute of a Circle Kampyle of Eudoxus Kappa Curve Lamé Curves Lemniscate of Bernoulli Limacon of Pascal Lissajous Curves Lituus Neile's Parabola Nephroid Newton's Parabolas Parabola

Pearls of de Sluze Pear-shaped Quartic Plateau Curves Pursuit Curve Quadratrix of Hippias Rhodonea Curves Right Strophoid Serpentine Sinusoidal Spirals Spiral of Archimedes Spiric Sections Straight Line Talbot's Curve Tractrix Tricuspoid Trident of Newton Trifolium Trisectrix of Maclaurin Tschirnhaus' Cubic Watt's Curve Witch of Agnesi

Bernoulli's Illustration

  Bernoulli's Illustration

Polar Animations

how a surface area is generated by revolution

 

Replay the animation	This animation demonstrates how a surface area is generated by revolution and then how the sum of disks results in a volume. but the surface area is more complicated.	This "SA" for the surface on the left was calculated using Mathematica®.

Khayyam-Pascal's Triangle

یک تابلوی گلدوزی از مثلث خیام پاسکال که توسط "ویلیام اچ میشل۱۹۲۵  " و همسرش دوخته شده است در این تابلو هر یک ازاعداد اول به یک رنگ دوخته شده و اعداد مرکب باترکیب رنگ عاملهای اول آن عدد . به رنگ اعداد مربع کامل و توانهای اعداد اول دقت کنید!

When he retired, William H. Mitchell joined his wife in a hobby of needlepoint.  As a 1925 graduate of Rutgers University, Mitchell chose to create original designs based on a life long love of his undergraduate major, mathematics.  His son, Alexander M. "Sandy" Mitchell of Joppa, Maryland, asked the NCB to honor his father's memory by displaying one of his projects.

 

In Mitchell's design, prime numbers ( 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . . ) are designated by a single colored square.  For example, the prime numbers 2, 3, 5, and 7 are represented respectively by the solid colors red, yellow, blue and green.
The composite number  6  is represented by its prime factor colors of red and yellow, or ( 2 x 3).  The number 4, or 2²  is represented by red with a tiny square.  For larger composite numbers, requiring several factors, Miller chose to use the colors of the prime factors in modified patterns. 

Note that 126 =  2 x 3² x 7  is composed of two parts yellow (3) and one part each of red (2) and green (7).  He finished his triangle with the 32nd row, or  2⁵, or red with a tiny blue square.  In addition, the project contains math operation symbols, Rubic's Cube, Sierpinski's Triangle and other mathematical memorabilia.

Miller's mathematical needlework required great patience spread over several years.  From a technical view point, each individual block required 120 stitches.  There are over 500 blocks of colors.

In Spring, 1984, Rutgers University honored their former math major by featuring his creation on the cover of their alumni magazine, 1766.

Pascal's version of the triangular array.

From a very early Greek manuscript found in the Vatican Library by the great classical scholar from Denmark, Johan Heiberg.

---

---

 برای اطلاعات بیش تر به آدرس زیر مراجعه کنید:   http://curvebank.calstatela.edu/ptriangle/ptriangle.htm

ابو عبدالله محمّد بن موسی خوارزمی

 

 

ابو عبدالله محمّد بن موسی خوارزمی (قرون دوم و سوم هجری)  بزرگ‌ترین عالم عصر خود در ریاضی، جغرافی، نجوم و تاریخ بوده است. او در بیت‌الحکمه کار مي‌کرد. یکی از مهمترین پیشرفت‌ها با کارهی خوارزمی شروع شد. ین پیشرفت، شروع جبر نام دارد و حرکتی انقلابی بود در دور شدن از مفهوم یونانی ریاضی که اساساً هندسی بود.

مهمترین کتاب خوارزمی کتاب حساب ‌الجبر و المقابله است. کلمه‌یAlgebra  از نام ین کتاب گرفته شده است. البتّه فقط قسمت اوّل ین کتاب به آنچه جبر مي‌نامیم ارتباط دارد. بید بدانیم که ین کتاب به شکلی کاربردی  و بری حلّ مسائل روزمره‌ی قلمرو اسلام نوشته شده است. خوارزمی در ین کتاب ابتدا اعداد طبیعی را معرّفی مي‌کند و سپس به حلّ معادلات مي‌پردازد. او معادلات خطّی و معادلات مربّعی را بررسی مي‌کند. خوارزمی از نماد استفاده نمي‌کند و مسائل را با کلمات بیان مي‌کند. او معادلات را در شش دسته رده‌بندی مي‌کند. ین رده‌بندی با اجری جبر و مقابله انجام مي‌شود؛ جبر یعنی جابجیی جملات بری مثبت بودن همه‌ی ضریب، و مقابله یعنی حذف جملات متناظر در دوطرف تساوی. رده بندی خوارزمی به ین صورت بود:

• مربّع‌ها مساوی ریشه‌ها
• . مربّع‌ها مساوی اعداد.
• ریشه‌ها مساوی اعداد.
• جمع ریشه‌‌ها و مربّع‌ها مساوی اعداد؛ مثلاً
• جمع مربّع‌ها و اعداد مساوی ریشه‌ها؛ مثلاً
• جمع ریشه‌ها و اعداد مساوی مربّع‌ها؛ مثلاً ، و ریشه یعنی . سپس خوارزمی راه حلّ هریک از شش رده را بیان مي‌کند. او هم از روش هندسی و هم از روش جبری استفاده مي‌کند. او روش جبری خود را چنین بیان مي‌کند:

  ... مربّعی و ده ریشه برابر سي‌‌ونه واحد اند. پس مسأله در ین نوع معادله ین‌گونه است: چه مربّعی است که وقتی با ده ریشه‌اش جمع شود مجموع سي‌ونه را مي‌دهد؟ روش حلّ ین نوع معادله ین است که نصف ریشه‌هی مذکور را بگیرید، در ین مسأله پنج، که وقتی در خودش ضرب شود بیست‌وپنج مي‌شود، وقتی که وقتی با سي‌ونه جمع شود شصت‌وچهار را مي‌دهد. ریشه‌ی شصت‌وچهار را مي‌گیریم که هشت است، و نصف ریشه‌ها را از آن منها مي‌کنیم، که سه مي‌شود. پس ریشه عدد سه است و مربّع عدد ۹.

  روش هندسی در شکل زیر مشخّص است:

   

  

  خوارزمی رساله‌ای هم در زمینه‌ی شمار هندی-عربی نوشت، متن عربی گم شده‌است ولی ترجمه‌ی از ین کتاب به لاتین به نام Algoritmi de numero Indorum (به معنی الخوارزمی در باب روش حساب هندی) باعث برخاستن کلمه‌ی الگوریتم شد. البتّه ین ترجمه دقیقاً با متن کتاب خوارزمی انطباق ندارد. بسیاری از ترجمه‌هی ین کتاب با عبارت dixit Algorismi ("الخوارزمی چنین مي‌گوید") آغاز شدند، که به در قرون وسطی استفاده‌ی کلمه‌ی الگوریسم بری اشاره‌ به حساب با ارقام هندی را سبب شد. کلمه‌ی امروزی الگوریتم از ین واژه مشتق شده است.

  منابع:

• http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Al-Khwarizmi.html

• http://www.maa.org/devlin/devlin_0708_02.html

• دائرة‌المعارف فارسی

شبکه های دنیای کوچک

http://veda.sharif.ir/articles/little-worlds/index.htm

نوار موبیوس

عجیب‌ترین نوار دنیا

 

یک تکه کاغذ بردارید، آن را نیم دور بپیچانید و دو انتهای آن را به هم بچسبانید. موجود ساده ای که ساخته اید، کلی خاصیت های عجیب و غریب دارد.

مثلا حتما می دانید که اگر سر و ته یک نوار را بدون پیچش به هم بچسبانیم، یک استوانه مانند ساخته میشود که اگر آن را از وسط ببریم، دو تکه میشود. اما اگر همین کار را روی این نوار عجیب انجام دهیم یک تکه باقی میماند و تنها طولش دو برابر می شود.

 برای اینکه با خاصیت های دیگر این موجود آشنا شوید چند تکه کاغذ و چسب نواری و قیچی بردارید و سعی کنید جواب این سوالات را پیدا کنید. به کمک جواب این سوال ها تردستی های زیادی طراحی شده است. شما هم می توانید به کمک آن ها دوستانتان را به تعجب وادارید.

فرض کنید قبل از آنکه دو سر نوار را به هم بچسبانیم، به جای یک بار، دو بار آن را بپیچانیم و بعد از وسط ببریم. چه اتفاقی خواهد افتاد؟

 

اگر نوار را سه، چهار، پانزده ....   بار بپیچانیم چه اتفاقی خواهد افتاد؟ چه فرقی بین عددهای زوج و فرد هست؟

اگر به جای یک برش از وسط نوار دو برش به فاصله یک سوم از لبه ها بزنیم چه اتفاقی خواهد افتاد؟

این موجود را Augustus Mobius ریاضیدان و منجم آلمانی در سال 1858 کشف کرد و به همین خاطر نام آن را نوار موبیوس گذاشتند.. خاصیتی که در این نوار توجه موبیوس را جلب کرد، یک طرفه و یک لبه بودن آن بود. این نوار عجیب تنها یک رو دارد، یعنی یک مورچه که در نقطه ای از یک نوار موبیوس کاغذی ایستاده می تواند بدون رد شدن از لبه کاغذ به پشت آن نقطه (در سمت دیگر کاغذ) برسد. در حقیقت این نوار اصلا پشت ندارد. این خاصیت را می توانید در نقاشی زیر ببینید. همینطور، لبه این نوار از یک تکه تشکیل شده: یک دایره که روی خودش تا شده است.

Mobius Band II  اثر   escher

 به نظر شما آیا نوار هایی که با تعداد زوجی پیچاندن ساخته می شوند هم این خاصیت ها را دارند؟