Klein's Favorite Example

  برای اطلاعات بیشتر متن زیر را مطالعه کنید

 http://math.ucr.edu/home/baez/namboodiri/nam1.pdf

سلیقه

آموزش ریاضیات

مقاله ای در مورد آموزش ریاضیات

آموزش رياضيات، تنها براي افزايش توان فكري يا تحليلي بشريت و كاربرد در زندگي يا ساير علوم مرتبط نيست. رياضيات به علت داشتن تاريخ طولاني، انبوهي از دانسته ها را پديد آورده است، كه بخش مهمي از علم و دانش بشري را تشكيل مي‌دهد. بنابراين اگر آموزش را به عنوان ابزار حفظ، انتقال و بالا رفتن سطح فرهنگ جامعه و مخاطبان تعريف كنيم. يكي از وظايف معلم‌هاي رياضي اين است كه دستاوردهاي عظيم تاريخ رياضيات را از طريق مدارس و كلاس هاي درس به نسل آينده انتقال دهند. در كلاس‌هاي درس رياضيات كنوني، اغلب معلمان رياضي همواره مي‌كوشند، تا ابتدا دانش‌آموزان درك درستي از مفاهيم رياضي داشته باشند، سپس تكنيك ها و روش‌هاي حل مسأله را ارائه مي‌دهند و در مرحله آخر، كاربردهايي از درس مورد نظر را براي دانش‌آموزان بيان مي‌كنند و در ارائه اين مطالب از روش‌هاي مختلف آموزش استفاده مي‌كنند. اما معلم رياضي با دانستن تاريخ رياضيات براساس فعاليت دانش‌آموز، مي‌تواند طوري تدريس كند كه دانش‌آموز در فرايند حل مسأله يا اثبات يك قضيه قرار گرفته و تنها به راه حل اكتفا نكند. با اين روش كاري مي كنيم كه دانش‌آموز، مراحل مختلف حل مسأله را خودش انجام دهد. اين كار باعث مي‌شود كه دانش‌آموز تا اندازه اي در جريان حل مسأله و تاريخچه كشف يك قضيه قرار گيرد و به جاي تكرار لفظي قضايا، علم را پيش خود بازآفريني كند، تا اين كه به نتيجه مطلوب برسد. بايد توجه داشته باشيم كه تاريخ رياضي فقط نقل روايت هاي زندگي علمي دانشمندان نيست

وقتي به تاريخ مي نگريم، ملاحظه مي كنيم كه در گذشته دور، سقراط نيز مسأله آموزش و پرورش و تئوري‌هاي يادگيري را مورد مطالعه قرار داده است. سقراط در روش خود، موسوم به روش «مامايي» بيان مي كند كه آموزش بايد طوري باشد كه دانش‌آموز (به معني اعم آن) مفاهيم را بزايد و به نظر او معلم در اين تولد، نقش «ماما» را دارد. همچنين ژان ژاك روسو اعتقاد خود را به آموزش بر محور دانش‌آموز بيان مي كند، همچنين وي تاكيد مي‌كند كه دانش‌آموز بايد علم را پيش خود بازآفريني كند. او مي‌گويد دانش‌آموز بايد علوم را كشف كند

ژاك آدمار در كتاب روان شناسي ابداع در رياضيات از قول هانري پوانكاره مي نويسد

من بيان خواهم كرد كه حل فلان قضيه، تحت بهمان شرايط اتفاق افتاد، اين قضيه يك نام غير مصطلح دارد كه براي بسياري كسان بيگانه است، اما اين موضوع اهميتي ندارد، آنچه براي روان شناس رياضي جالب است، نه خود قضيه بلكه اوضاع و احوالي است كه به ابداع منجر مي‌شود

جميز كلارك ماكسول معتقد است، خيلي مفيد خواهد بود، اگر شاگردان در هر مبحثي، نوشته هاي دست اول مربوط به آن مبحث را بخوانند، زيرا علوم هميشه در همان صورتي كه تولد يافته اند، بهتر جذب مي‌شوند.‌‌

بنابراين ، براي رسيدن به هدف هاي ظريفي كه توسط محققان آموزش رياضي در بالا پيشنهاد شده است، يعني «افزايش درك رياضي»، بايد تاريخ رياضيات را به عنوان يك ابزار موثر در دست معلم براي دادن بينش به دانش‌آموزان و برانگيختن علاقه آن‌ها در نظر گرفت. اگر با كاوشي در تاريخ رياضيات بتوانيم دانش‌آموز را در اوضاع و احوالي قرار دهيم كه منجر به كشف يك قضيه يا فرايند حل يك مسأله ‌شود در اين صورت تدريس را به طور جذاب‌تر انجام داده‌ايم و دانش‌آموز با فكر خود «مانند يك رياضيدان» شروع به اكتشاف مي كند. در نتيجه دانش‌آموز با اين عمل مفاهيم را كمتر فراموش خواهد كرد و چه بسا با اين فرايند، دانش‌آموز بتواند مطالبي را با فكر خود بزايد، كه براي ما تازگي داشته باشد، زيرا رياضيات در حقيقت آفرينش آزادانه ذهن بدون هيچ محدوديتي به جز ماهيت خود ذهن است

آشنايي با تاريخ رياضيات، تسلط معلمان رياضي را بر مباحث درسي كامل‌تر مي كند و به آن‌ها امكان مي دهد تا موضوع تدريس خود را عميق تر و با احساس قوي‌تري درك و تدريس كنند

 

منطق فازي

منطق فازي

رياضيات فازي يک فرا مجموعه از منطق بولي است که بر مفهوم درستي نسبي، دلالت مي کند. منطق کلاسيک هر چيزي را بر اساس يک سيستم دوتائي نشان مي دهد ( درست يا غلط، 0 يا 1، سياه يا سفيد) ولي منطق فازي درستي هر چيزي را با يک عدد که مقدار آن بين صفر و يک است نشان مي دهد. مثلاً اگر رنگ سياه را عدد صفر و رنگ سفيد را عدد 1 نشان دهيم، آن گاه رنگ خاکستري عددي نزديک به صفر خواهد بود. در سال 1965، دکتر لطفي‌زاده نظريه سيستم‌هاي فازي را معرفي کرد. در فضايي که دانشمندان علوم مهندسي به دنبال روش‌هاي رياضي براي شکست دادن مسايل دشوارتر بودند، نظريه فازي به گونه‌اي ديگر از مدل‌سازي، اقدام کرد

منطق فازي معتقد است که ابهام در ماهيت علم است. بر خلاف ديگران که معتقدند که بايد تقريب‌ها را دقيق‌تر کرد تا بهره‌وري افزايش يابد، لطفي‌زاده معتقد است که بايد به دنبال ساختن مدل‌هايي بود که ابهام را به عنوان بخشي از سيستم مدل کند. در منطق ارسطويي، يک دسته‌بندي درست و نادرست وجود دارد. تمام گزاره‌ها درست يا نادرست هستند. بنابراين جمله «هوا سرد است»، در مدل ارسطويي اساساً يک گزاره نمي‌باشد، چرا که مقدار سرد بودن براي افراد مختلف متفاوت است و اين جمله اساساً هميشه درست يا هميشه نادرست نيست. در منطق فازي، جملاتي هستند که مقداري درست و مقداري نادرست هستند. براي مثال، جمله "هوا سرد است" يک گزاره منطقي فازي مي‌باشد که درستي آن گاهي کم و گاهي زياد است. گاهي هميشه درست و گاهي هميشه نادرست و گاهي تا حدودي درست است. منطق فازي مي‌تواند پايه‌ريز بنياني براي فن‌آوري جديدي باشد که تا کنون هم دست‌آورد‌هاي فراواني داشته است

كاربرد منطق فازي

از منطق فازي براي ساخت کنترل کننده هاي لوازم خانگي از قبيل ماشين رختشويي (براي تشخيص حداکثر ظرفيت ماشين، مقدار مواد شوينده، تنظيم چرخهاي شوينده) و يخچال استفاده مي شود. کاربرد اساسي آن تشخيص حوزه متغيرهاي پيوسته است. براي مثال يک وسيله اندازه گيري دما براي جلوگيري از قفل شدن يک عايق ممکن است چندين عضو مجزا تابعي داشته باشد تا بتواند حوزه دماهايي را که نياز به کنترل دارد به طور صحيح تعريف نمايد. هر تابع، يک ارزش دمايي مشابه که حوزه آن بين 0 و 1 است را اختيار مي کند. از اين ارزشهاي داده شده براي تعيين چگونگي کنترل يک عايق استفاده مي شود

در شکل روبرو، سرد بودن، گرم بودن و داغ بودن، توابعي براي مقايسه درجه حرارت هستند و هر نقطه اي روي اين خطوط مي تواند داراي يکي از سه ارزش بالا باشد. به عنوان مثال براي يک درجه حرارت خاص که در شکل با يک خط نشان داده شده است، مي توان گفت: «مقداري سرد است»،«اندکي گرم است» يا «اصلاً داغ نيست». حال با مثال ديگري اهميت اين علم را بيشتر درک مينمائيم: يک انسان در نور کافي قادر به درک ميليونها رنگ ميباشد.ولي يک روبوت چگونه ميتواند اين تعداد رنگ را تشخيص دهد؟ حال اگر بخواهيم روباتي طراحي کنيم که قادر به تشخيص رنگها باشد از منطق فازي کمک ميگيريم و با اختصاص اعدادي به هر رنگ آن را براي روبوت طراحي شده تعريف ميکنيم
از کاربردهاي ديگر منطق فازي ميتوان به کاربرد اين علم در صنعت اتومبيل سازي(در طراحي سيستم ترمز ضد قفل و کنترل موتور براي بدست آوردن بالاترين راندمان قدرت)،در طراحي بعضي از ريزپردازنده ها و طراحي دوربينهاي ديجيتال اشاره کرد

فضای هيلبرت

کارگاه آموزشی

see bottom of Index page for details. 

• 7stones Graphing Calculator.
• LINEAR ALGEBRA SITE
  
• GEOMETRY
  • Hexagonal Closest Packing
    (Shockwave 3D; fast processor advised.)
    
  • Some Geometric Shapes
    (Flash MX 2004 quaternion-based 3D engine.)
    
  • Conic Sections
    (Shockwave 3D; fast processor advised.)
    
  • Sphere Packings, Shapes and Lattices
  • Dual Shapes (Flash 5.)
  • Make Your Own Shapes and Molecules (Flash MX.)
  • Triangle Inscribed in Circle (Flash 5.)
• WAVES
  • Compare two waves and swap individual properties.
    (Flash MX 2004.)
    
  • Longitudinal and Transverse Wave Sums
    (Complex. Give it time to load. Flash MX.)
    
  • 2D Wave Interference in 3D
    (Shockwave 3D; 3D accelerator advised.)
    
  • Waves Described
  • Longitudinal and Transverse Wave Lab
  • Summing out of phase sine waves.
  • 2-Dimensional Harmonic Disturbance
    (Fast computer advised.)
• VECTORS and GRAVITY
  • Director MX 2004 collisions.
    
  • Flash collision lab.
    (Under development.)
    
  • Velocity, Acceleration, Projectile and Circular Motion
    (Complex. Give it time to load. Flash MX.)
    
  • Linear Motion in 3-space
    (Shockwave 3D; fast processor advised.)
    
  • 3-Body, 3D Gravity Lab
  • 2-Dimensional Vector Components Lab
  • Choose Axes to Fit Vector Force Sum
  • Projectile Motion Vector Lab Game
  • Planetary Orbits Lab
  • Center of Mass Lab
  • Another Planetary Orbits Lab (Flash 5.)
• ALGEBRA
  • Octonion 4-fold Products (Flash MX)
    
  • Octonion Multiplication Calculator (Flash 5)
    
  • Flash Lesson about the Octonion Algebra
• RELATIVITY
  • Relativistic Speed Limit
  • Introduction to Special Relativity
• QUANTUM MECHANICS
  (Done at Harvard for CORE Course)
  • Introduction to Quantum Mechanics
  • Quantum Mechanical Uncertainty
  • Nuclear Decay and Halflife Lab
  • Bohr Atom Lab
• STATISTICS
  • Introduction to Linear Regression
• ELECTRIC and MAGNETIC FIELDS
  • DC circuit with 3 resistors and two emfs.
  • AC circuit with R,L and C in series.
  • Electric field of point charges, and influence thereof.
  • Five 3-D jpegs relating to Gauss's Law.
• THERMODYNAMICS
  • A simple finite entropy example.
  • PV = nRT simulation.
• ASTRONOMY
  • Expanding Universe
  • Doppler Shift
• ANALYSIS
  • Parabola Explorer (Flash 5.)
  • Recursion and Chaos.
• NUMBER THEORY
  • Prime Numbers and Entropy. (Flash 5.)
• PRE-COLLEGE
  • Simple Volume Explorer in 3-d.
• BIOINFORMATICS
  • Silent Mutations
    (Shockwave 3D; fast processor advised.)
• CALCULATORS
  • Scientific and statistical calculator.
    (Flash MX component.)
  
  

 

 

 

© 2000 7stones