تا زدن کاغذ

شاید تا کنون شده باشد که در مواقعی که بیکار هستید یا اینکه انتظار خبر مهمی را می کشید برای سرگرم کردن خودتان کاغذی را که در اطرافتان هست بردارید و شروع به تا کردن آن کنید و بعد از چند بار متوجه شوید که دیگر نمی شود کاغذ را تا کرد. در این صورت یا از تا کردن کاغذ منصرف می شوید یا آن را باز می کنید و دوباره شروع به تا کردنش می کنید... البته ممکن است قبل از اینکه به آن زمان برسید خبر مهم به شما داده شود  و کاغذ را به جای اولش برگردانید !!!

این مسئله را همه ما تجربه کرده ایم اما شاید هیچ کدام از ما به طور جدی روی آن فکر نکرده باشیم.

اگر ورق را هر بار طوری تا کنید که اندازه آن نصف شود بیش از 7 یا 8 بار نمی توانید آن را تا کنید. مهم نیست ورق اولیه شما چقدر بزرگ باشد. شاید تا به حال این قضیه را شنیده باشید و سعی کرده باشید که آن را امتحان کنید و متوجه شده باشید که تا کردن کاغذ بیش از7 یا 8 بار بسیار سخت است.  آیا می توان گفت که این اعداد یک محدودیت مستدل و عمومی برای تا کردن کاغذ هستند؟

فرض کنید شما کاغذی را انتخاب کرده اید که دارای پهنای w و ضخامت t است . اگر شما شروع به تا کردن ورق از یک سمت بکنید وقتی به جایی برسید که دیگر نتوانید کاغذ را تا کنید یک نوار باریک خواهید داشت.
با هر تا کردنی ضخامت کاغذ دو برابر می شود و پهنای آن نصف خواهد شد. یعنی بعد از N بار تا کردن ضخامت  خواهد بود و البته مشخص است که پهنا  می شود و نسبت ضخامت به پهنا برابر  می شود.
اگر با کاغذی به پهنای 11cm و ضخامت 0.002cm این کار را انجام دهید بعد از 7 بار تا کردن نسبتt/w برابر 1/6 می شود. این بدان معنیست که اندازه ضخامت از پهنا بیشتر می شود و در نتیجه دیگر قادر به تا کردن کاغذ نخواهید بود. اگر این کاغذ را 50 بار بزرگتر کنید شاید بتوانید آن را تا 10 بار هم تا کنید.

اگر به صورت متناوب کاغذ را از عرض و طول تا کنید ممکن است تعداد دفعات بیشتری بتوانید به تا کردن کاغذ ادامه دهید. در این صورت هر بارضخامت دو برابر می شود در صورتی که پهنا هر دو دفعه یک بار نصف می شود.

چندین سال پیش هنگامی که بریتنی گالیوان در دبیرستان درس می خواند با این مسئله رو به رو شد که چگونه کاغذی زا 12 بار تا کند . او باید برای گرفتن نمره از یکی از کلاسهایش این مسئله را حل می کرد. بعد از آزمایش راه های مختلف او موفق شد که ورقه نازکی از طلا را 12 بار تا کند. اما مسئله طرح شده در باره کاغذ بود و نه طلا.

گالیوان بر روی معادله تعداد دفعاتی که می توان یک کاغذ با اندازه معین را تا کرد کار کرد.

که در آن L کمترین درازای کاغذ، t میزان ضخامت کاغذ و n تعداد دفعاتی است که می توان کاغذ را تا کرد. واحد t و L باید یکسان باشد.

براي يک طول و ضخامت معين عبارت  بيانگر آن است که صفحه بعد از n بار تاکردن چند برابر کوچک شده است. با n=0 شروع می کنیم و به همین ترتیب به رشته ای از اعداد به این صورت می رسیم:

0, 1, 4, 14, 50, 186, 714, 2794, 11050, 43946, 175274, 700074, 2798250, . . .

این به این معنی است که در تای دوازدهم 2798250 برابر مقدار کاغذی که در تای اول از دست می رود از دست خواهد رفت.

گالیوان در کتابی با نام Historical Society of Pomona Valley چگونگی به دست آوردن این معادله و تلاشش برای حل مشکل را توضیح داده است. بالاخره در June 2002 گالیوان یک کاغذ بزرگ را 12 بار تا کرد.

 

اعداد اول دوقلو

اين دومين كوشش در جهت اثبات حدس اعداد دوقلو است كه توسط گلدستون ( Goldston ) و همكارانش ( Hotohashi, Pintz and Yildirim ) ارائه شده است. حدودا يك سال قبل ، اثباتي به وسيله گلدستون و يلدريم ( Yildirim ) مطرح شد اما اشتباهي در آن صورت گرفته بود كه توسط گرانويل ( Granville ) و ( Soundararajan ) پيدا شد و آن كوشش بي نتيجه باقي ماند . اما اين بار گرانويل اعتقاد دارد با توجه به بررسي هاي انجام شده تلاشهاي گلدستون و همكارانش درست است. گلدستون نيز طي مصاحبه ايي كه با Mercury News انجام داده كار 20 ساله اش و تلاش ناموفقي را كه داشت بيان نموده و ادعا كرده اين بار كار او و همكارانش درست است.
 همان طور كه مي دانيد اعداد دو قلو اعداد اولي هستند كه در دو واحد با هم اختلاف دارند به عنوان مثال جفت هاي 3 و 5 از جمله جفت اعداد دو قلوهستند. در واقع اين جفت ها به صورت p و p+2 مي باشند.
 اين نام اولين بار توسط " پل استكر" (1919-1892) به اين اعداد داده شد.
 هنگاميكه هنوز مسئله چگونگي توزيع اعداد اول دوقلو حل نشده بود "وي بران" اثبات كرد كه مجموع معكوسات اين اعداد حتي وقتي كه تعداد آنها نامتناهي باشد به عدد خاصي ميل مي كند. اين نتيجه به نام قضيه بران ناميده مي شود و عدد B ثابت بران معروف است و تقريبا برابر با 1.902160583104 اسنت .جالب به نظر مي رسد كه بدانيد محاسبات بسيار دقيق "توماس نيكلي" در سال 1995 براي يافتن ثابت بران باعث آشكار شدن يكي از مشكلات جدي ميكروپروسسورهاي اينتل شد.
 بايد توجه كرد كه مجموع معكوسات كليه اعداد اول همگرا نيست كه اين نتيجه حتي از حكم نامتناهي بودن اعداد اول نيز قويتر است. قضيه بران نشان مي دهد كه اعداد اول دوقلو در ميان كليه اعداد اول بسيار پراكنده اند.
 اما ايا اعداد دوقلو نامتناهي هستند؟ حدس اعداد دوقلو بر اين سوال پايه گذاري شده است " تعدادجفت اعداد دوقلو نامتناهي هستند."
اگر چه اين مساله بيش از صد ساله است كه شناخته شده اما همچنان حل نشده باقي مانده است."هاردي" و "رايت" (1979) با بررسي جزئيات اين حدس آن را تصديق نمودند. البته هاردي و رايت بيان نمودند كه اثبات و يا رد اين حدس از دسترس رياضيات كنوني خارج مي باشد.
 اگر (1)p(n) , ....      p  دنباله ايي از همه اعداد اول باشند ، آيا تعداد نامتناهي n وجود دارد كه تفاضل (p(n+1 و (p(n كمتر از مثلا 10 باشد؟ اگر بتوان اين مساله را حل نمود مي توان گامي اساسي در جهت حل حدس دو قلو برداشت. اساس اثبات گدستون بر همين پايه است ايده اثبات به اين روش فرمول زير است و در حقيقت پيدا كردن يك كران بالا يا مقداري براي D است.   
                  
     [(D = lim infn → ∞ [{p(n+1) - p(n)}/log p(n 

آنچه از نظريه اعداد اول دانسته مي شود اين است كه D بايد كمتر از يك باشد در سال 1926 هاردي و ليتل وود ( Hardy and Littlewood ) با شرط درست بودن فرضيه ريمان تعميم يافته مقدار 2/3 براي D پيدا كردند ( فرضيه ريمان فرضيه ايي كه بيان مي كنند قسمت حقيقي كليه ريشه هاي تابع زتا ي ريمان كه داراي قمست حقيقي مثبت هستند برابر ½ است.) اين روند ادامه پيدا كرد تا اينكه تقريبا دو سال قبل گلدستون و يلدريم نشان دادند كه اين مقدار مساوي صفر است البته همان طور كه اشاره شد آن اثبات اشتباهي داشت كه اكنون آن را تصحيح كرده اند.

آيا اينبار انچه ادعا شده است درست است؟

مراجع:  
 
http://www.aimath.org/preprints.html
http://mathworld.wolfram.com/TwinPrimeConjecture.html
http://www.arxiv.org
  http://www.arxiv.org/abs/math.NT/0506067

کنفرانس ریاضی

                                        این کنفرانس از روز نوزدهم  الي  بيست و دوم شهريور ماه 1384در شهر یزد برگزار می شود.

اعداد تاكسي :
زماني كه رياضيدان انگليسي هاردي براي عيادت رياضيدان شهير هند رامانوجان به
بيمارستان رفته بود به اين موضوع اشاره كرد كه شماره تاكسي كه به وسيله آن به
بيمارستان آمده، عدد بي ربط و بي خاصيت 1729 بوده است . رامانوجان بلافاصله
ضمن رد ادعاي هاردي به او يادآور شد كه اتفاقا 1729 بسيار جالب توجه است .
خود ۱۷۲۹ عدد اول است.
دو عدد ۱۷ و ۲۹ هر كدام عدد اول هستند.
جمع چهار رقم تشكيل دهنده آن ميشود ۱۹ كه اول است.
جمع دو عدد اوليه و دو عدد آخري ميشود ۸۱۱ كه باز هم عدد اول است
دو عدد ابتدايي(سمت چپ) اگر جمع شوند؛عدد ۸۲۹ ميشود كه باز هم عدد اول است.
دو عدد اوليه اگر از هم ديگر كسر شوند؛عدد ۶۷ ساخته ميشود كه باز هم
عدد اول است. سه عدد سازنده آن عدد اول است(۱و۷و ۲).
عدد اول؛عددي است كه فقط بر يك و خودش تقسيم ميشودبنحوي كه نتيجه تقسيم
عددي كسري نباشد(خارج تقسيم نداشته باشد)
جمع عددي اعداد تشكيل دهنده ۱۷۲۹ يا:۱+۷+۲+۹=۱۹ است؛
عكس ۱۹ عدد ۹۱ است؛ اگر ۱۹*۹۱بشودنتيجه برابر ۱۷۲۹ ميشود.
اين هم يكي ديگر از اختصاصات ۱۷۲۹ است كه در هر عددي ديده نميشود.
عدد 1729 اولين عددي است كه مي توان آنرا به دو طريق به صورت حاصلجمع
مكعبهاي دو عدد مثبت نوشت :
12 به توان 3 به علاوه 1 به توان 3 و 10 به توان 3 به علاوه 9 به توان 3 هردو برابر
1729 مي باشند .(اولين مطلب موجود در رابطه با اين خاصيت 1729 به كارهاي
بسي رياضيدان فرانسوي قرن هفدهم باز مي گردد.) حال اگر كمي مانند
رياضيدانها عمل كنيد بايد به دنبال كوچكترين عددي بگرديد كه به سه طريق مختلف
حاصلجمع مكعبهاي دو عدد مثبت است اين عدد87539319 مي باشد كه در
سال 1957توسط ليچ كشف شد: 414 به توان 3 + 255 به توان 3 و 423 به
توان 3+ 228 به توان 3 و 436 به توان 3 + 167 به توان 3 هر سه جوابشان برابر
87539319 است .
امروزه رياضيدانان عددي را كه به n طريق مختلف به صورت حاصلجمع مكعبهاي
دو عدد مثبت باشد ،n ــامين عدد تاكسي مي نامند و آنرا با Taxicab نمايش
مي دهند.جالبتر از همه اينكه ،هاردي و رايت ثابت كردند براي هر عدد طبيعي
n ناكوچكتر از 1 ،n ــامين عدد تاكسي وجود دارد !
هرچند، چهارمين تا هشتمين اعداد تاكسي نيز كشف شده اند ولي تلاشها براي
يافتن نهمين عدد تاكسي تاكنون نا كام مانده است . متاسفانه اطلاعات زيادي درباره
اعداد تاكسي موجود نيست . در ضمن ميتوان مسئله را از راههاي ديگر نيز گسترش
داد . مثلا همانگونه كه هاردي در ادامه داستان فوق از رامانو جان پرسيد و او قادر به
پاسخگويي نبود ، اين پرسش را مطرح كنيد: كوچكترين عددي كه به دوطريق
حاصلجمع توانهاي چهارم دو عدد مثبت مي باشد ،كدام است؟ اين عدد
توسط اويلر يافت شده است :635318657 حاصلجمع توان چهارم 59 و 158 همچنين
توانهاي چهارم 133 و 134 مي باشد

المپیاد جهانی ریاضی 2003

44th IMO 2003

A1.  S is the set {1, 2, 3, ... , 1000000}. Show that for any subset A of S with 101 elements we can find 100 distinct elements xi of S, such that the sets xi + A are all pairwise disjoint. [Note that xi + A is the set {a + xi | a is in A} ].
A2.  Find all pairs (m, n) of positive integers such that m^2/(2mn^2 - n^3 + 1) is a positive integer.
A3.  A convex hexagon has the property that for any pair of opposite sides the distance between their midpoints is (√3)/2 times the sum of their lengths. Show that all the hexagon's angles are equal.
B1.  ABCD is cyclic. The feet of the perpendicular from D to the lines AB, BC, CA are P, Q, R respectively. Show that the angle bisectors of ABC and CDA meet on the line AC iff RP = RQ.
B2.  Given n > 2 and reals x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn, show that (∑i,j |xi - xj| )^2 ≤ (2/3) (n^2 - 1) ∑i,j (xi - xj)^2. Show that we have equality iff the sequence is an arithmetic progression.
B3.  Show that for each prime p, there exists a prime q such that n^p - p is not divisible by q for any positive integer n.

To avoid possible copyright problems, I have changed the wording, but not the substance, of the problems.

IMO home